Математичний і пружинний маятники. Перетворення енергії під час коливального руху маятників.

Урок № 53 (2 к).

Тема: "Математичний і пружинний маятники" 

Характеристики коливального руху маятників.

Пружинний маятник — це тіло масою m, закріплене на пружині, жорсткість якої k і яке коливається під дією сили пружності (мал. 266, а, с. 248). 

Математичний маятник — це точкове тіло, підвішене до нерозтяжної й невагомої нитки. Математичний маятник — це поняття абстрактне, тому з певним наближенням математичним маятником можна вважати кульку, підвішену на нитці (мал. 266, б, с. 248). 

Ці маятники є коливальними системами, у яких можуть відбуватися коливання. 

Кожна коливальна система має стан рівноваги. Для математичного маятника — це положення, у якому центр мас підвішеної кульки лежить на одній вертикалі з точкою підвісу; у горизонтального пружинного маятника — це положення, у якому пружина не деформована.

    Якщо коливальну систему вивести зі стану рівноваги, виникає сила, що повертає систему в рівноважний стан. При цьому коливальне тіло не зупиняється в рівноважному стані, а продовжує свій рух за інерцією. У системі виникають вільні коливання. 

Вільними (або власними) називають коливання, які виникають у результаті початкового виведення системи з положення стійкої рівноваги і здійснюються за рахунок внутрішніх сил системи, не зазнаючи впливу з боку змінних зовнішніх сил.

     Період вільних коливань пружинного маятника визначається масою коливного тіла та жорсткістю пружини

    Період вільних коливань математичного маятника залежить лише від прискорення вільного падіння в даному місці Землі та від довжини маятника

    Період не залежить від амплітуди коливань і від маси підвішеного тягарця, що легко перевірити на дослідах із різними маятниками. (Це ви зробите, виконуючи роботи фізичного практикуму.)

   Вільні коливання горизонтального пружинного та математичного маятників (за малих кутів відхилення 3-5 градусів) ще називають гармонічними коливаннями. 

     У гармонічних коливаннях сили, під дією яких вони відбуваються, завжди пропорційні до зміщення і спрямовані протилежно до нього (до положення рівноваги). Для пружинного маятника — це сила пружності, для математичного — рівнодійна сили всесвітнього тяжіння та сили натягу нитки. 

  Перетворення енергії під час коливального руху маятників.

      Розглядаючи рухи маятників, вважатимемо, що тертя в обох коливальних системах відсутнє або настільки мале, що ним можна знехтувати. Така система є ізольованою і для неї виконується закон збереження механічної енергії. У початковий момент (тіло відведено у крайнє ліве положення) коливальна система має максимальну потенціальну енергію. 

     Для пружинного маятника це

    для математичного

    Рухаючись до положення рівноваги, система зменшує потенціальну енергію, але при цьому збільшується її кінетична енергія, яка набуває максимального значення в положенні рівноваги, де швидкість коливного тіла є максимальною. 

 Для обох маятників 

 Проходячи положення рівноваги, тіло зменшує кінетичну енергію й, зупиняючись у крайньому правому положенні, має максимальну потенціальну енергію. Кінетична енергія при цьому дорівнює нулю. 

 Таким чином, кінетична енергія коливальної системи матиме максимальні значення в моменти проходження тілом положень рівноваги, а потенціальна — у моменти перебування тіла в точках найбільших відхилень від положення рівноваги. 

     У довільний момент часу сума потенціальної і кінетичної енергії є сталою величиною й дорівнює повній енергії коливань. 

Мал. 267. 

 На малюнку 267 зображено графік зміни потенціальної та кінетичної енергій коливальної системи за один період коливань. 

  Використання математичних маятників. 

     Оскільки будь-який маятник має фіксований період коливань, їх використовують для регулювання ходу годинників. Маятники використовують і в геологічних розвідках.      У місцях, де залягають породи металевих руд, значення g аномально велике. Точні вимірювання прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника дають змогу виявити такі родовища. 

 За допомогою математичного маятника можна виявити добове обертання Землі. Цей дослід у 1851 р. в Парижі виконав Ж. Фуко з маятником завдовжки 67 м. Тому маятники, за допомогою яких можна продемонструвати добове обертання Землі навколо своєї осі, називають маятниками Фуко (мал. 268).

     Зміст досліду полягає в тому, що площина коливань математичного маятника залишається незмінною відносно інерціальної системи відліку. Тоді відносно неінерціальної системи відліку, пов’язаної із Землею, площина коливань маятника має повертатись. Пізніше цей дослід повторювали в різних місцях. 

    Очевидно, що ефект повороту площини коливань маятника залежить від широти місця проведення досліду, він найбільш виражений на земних полюсах і відсутній на екваторі.