Графічний метод розв’язування задач кінематики.

В фізиці є два базові методи розв’язування задач: алгебраїчний (аналітичний) та графічний (геометричний). Говорячи про сильні та слабкі сторони цих методів можна сказати наступне. Суть алгебраїчного методу розв’язування задач полягає в тому, що виходячи з умов конкретної задачі та відомих базових формул, шляхом логічних міркувань (аналізу) та відповідних математичних перетворень, отримують алгебраїчне рішення задачі. Наприклад. Задача.1. За заданими рівняннями руху х1=140 – 14t; х2= 4t, визначити де і коли тіла зустрінуться. Рішення. Оскільки в момент зустрічі х1=х2, то можна записати 140 – 14t = 4t. Звідси 18t=140, звідси t=140/18=7,78с=tзустр. А це означає, що хзустр= х2(7,78)=4∙7,78=31,1м. Відповідь: тіла зустрінуться через 7,78с в точці з координатою31,1м. Суть графічного (геометричного) методу розв’язування задач полягає в тому, що на основі максимально точних геометричних побудов, з дотриманням вибраного масштабу та з застосуванням відповідних геометричних приладів (лінійка, транспортир, циркуль, тощо), отримують графічну відповідь на поставлене в задачі запитання. Наприклад. Задача 2. За рівняннями руху х1 =140 – 14t; х2 = 4t побудувати відповідні графіки та виконати їх кінематичний аналіз. Рішення: На основі аналізу заданих рівнянь руху визначаємо координати базових точок: х1=140 – 14t: якщо t = 0с то х = 140м, А1(0; 140) . якщо t = 10с то х = 0м, А2(10; 0). х2= 4t: якщо t = 0с то х = 0м, В1(0; 0) . якщо t = 10с то х = 40м, В2(10; 40). Задаємо систему координат і виконуємо необхідні геометричні побудови.

Побудувавши графіки заданих рухів та аналізуючи ці графіки, можна відповісти на безліч кінематичних запитань. Наприклад, визначити час та місце зустрічі тіл: зустрінуться приблизно через 7,8с в точці з координатою приблизно 30м. Можна встановити координати рухомих тіл в будь який момент часу. Скажімо, в момент часу t= 5с: х1≈50м; х2≈ 20м. Для будь якого моменту часу, визначити відстань між рухомими об’єктами. Наприклад: для t=5с, ℓ≈50м; для t=10с, ℓ=40м. Визначити швидкість тіла (v=∆x/∆t), його прискорення (a=∆v/∆t), напрям руху, тощо. Іншими словами, геометричний аналіз графіків руху, дозволяє відповісти на той же спектр запитань що і математичний аналіз відповідних рівнянь руху. Головною перевагою графічного методу є його візуальна наочність. А основним недоліком – факт того, що точність графічного рішення залежить від точності геометричних побудов. Графічне рішення задачі може бути ефективним лише в тому випадку, якщо досліджувані величини описуються лінійними функціями, тобто можуть бути представленими у вигляді певних прямих. Адже якщо наприклад, рівняння руху має вигляд х=40t–5t2, то графіком цього руху буде зображена на малюнку парабола для побудови якої потрібно визначити координати максимально великої кількості точок. За параболічним графіком важко визначити як величину тієї швидкості з якою рухається матеріальна точка в той чи інший момент часу, так і величину відповідного прискорення. Зважаючи на це, в подібних ситуаціях, графічний метод застосовується рідко.

Мал.16. Графічний метод розв’язування задач є ефективним лише в тому випадку, коли відповідні графіки є лінійними. Задача 3. За заданим графіком руху матеріальної точки визначити її швидкість на кожній ділянці шляху та записати відповідне рівняння руху.

Рішення. Оскільки на кожній ділянці графік руху представляє певну пряму, то відповідні рухи є рівномірними (v=const). А це означає, що швидкість такого руху визначається за формулою v=Δх/Δt. Т Тому, на основі кількісного аналізу графіку можна записати: 1) ділянка 1: Δt = 10c, х0 = 20м, Δx = –40м, v1=Δx/Δt= –20м/10с= –4м/с, x1 =20 – 4t; 2) ділянка 2: Δt = 5c, х0 = –20м, Δx = 0м, v2=Δx/Δt= 0м/5с = 0м/с; x2 = – 20; 3) ділянка 3: Δt = 10c, х0 = – 20м, Δx = 30м, v3=Δx/Δt= 30м/10с= 3м/с, x3 = –20 + 4t; 4) ділянка 4: Δt = 10c, х0 = 10м, Δx = –20м, v4=Δx/Δt= –20м/10с= –2м/с, x4 = 10 –2t; Задача 4. За заданим графіком руху, визначити швидкість руху тіла на кожній ділянці. Побудувати графік швидкості руху тіла.

Рішення. Оскільки на кожній ділянці графік руху представляє певну пряму, то відповідні рухи є рівномірними (v=const). А це означає, що швидкість такого руху визначається за формулою v=Δℓ/Δt. Тому, на основі кількісного аналізу графіку можна записати: v1=Δℓ1/Δt1=50м/5с=10м/с; v2=Δℓ2/Δt2=25м/5с=5м/с. Отримані результати представляємо у вигляді відповідного графіка швидкості.

Загальні зауваження. Аналіз графіку швидкості руху тіла дозволяє графічним способом визначати величину пройденого шляху як на певній ділянці руху так і на будь якій сукупності цих ділянок. А величина цього шляху дорівнює площі тієї фігури, яка з одного боку обмежена графіком швидкості та віссю 0–t, а з іншого – тими вертикальними лініями, які відповідають тому проміжку часу в межах якого визначається пройдений шлях. Наприклад в умовах нашої задачі s = (10м/с∙5c) + (5м/с∙5c) = 50м +25м = 75м. Задача 5. За заданим графіком швидкості, описати рух тіла на кожній ділянці шляху. Визначити пройдений тілом шлях на кожній ділянці.

Оскільки задані рівняння швидкостей представляють собою певні прямі, то можна стверджувати, що відповідні рухи є рівноприскореними (а=соnst), тобто такими, які описуються формулами: v = v0 + at – рівняння швидкості; s = v0t + at2/2 – рівняння пройденого шляху; для криволінійного руху: s = |s1| + |s2| + … Кількісно аналізуючи графік швидкості на кожній ділянці, можна сказати наступне: 1.Ділянка №1: ∆t=20c; v=20м/c=const; a=0; s=vΔt=20(м/с)∙20с=400м 2. Ділянка №2: ∆t=20c; v≠const; v0=20м/c; a=∆v/∆t=(20м/с)/20с=1м/с2; s = v0Δt + aΔt2/2 = 20(м/с)∙20с + 0,5(м/с2)∙(20с)2 = 600м. 3. Ділянка №3: ∆t=20c; v≠const; v0=40м/c; a=∆v/∆t=(–40м/с)/20с= –2м/с2; s = v0Δt + aΔt2/2 = 40∙20 –1∙202 = 400м. 4. Ділянка №4: ∆t=20c; v≠const; v0=0м/c; a=∆v/∆t=(20м/с)/20с=1м/с2; s = v0Δt + aΔt2/2 = 0∙20 + 0,5∙202 = 200м. Задача 6. За заданим графіком швидкості, описати рух тіла та визначити пройдений ним шлях за 6с.

На перший погляд, рішення задачі є елементарно простим: ∆t=6c; v0= –8м/c; a=∆v/∆t=(12м/с)/6с=2м/с2; s=v0Δt + aΔt2/2 = –8∙6+1∙62= –12м. Втім, останній результат явно насторожує. І не тільки своїм знаком (знак «–» може вказувати на той напрямок в якому рухається тіло), а й величиною (s=12м). Адже як з графічних, так і з аналітичних міркувань ясно, що величина пройденого тілом шляху є значно більшою за 12м. До речі, якщо ви думаєте, що в умовах даної задачі величина пройденого шляху дорівнює площі трикутника А(0;–8), В(0;4), С(6;4), яка становить (12∙6)/2=36м, то помиляєтесь. А справа втому, що в даному випадку рух тіла не є прямолінійним. Адже факт того, що на заданій ділянці, знак швидкості змінюється на протилежний, по суті означає, що на цій ділянці, до певного моменту (до моменту v=0) тіло рухається в одному напрямку, а після цього моменту – в протилежному напрямку. Прикладом такого руху є рівносповільнений рух тіла похилою площиною: до моменту зупинки, тіло рухається в одному напрямку (вгору), а після зупинки – в протилежному (вниз). При цьому, як до зупинки так і після неї, тіло рухається з одним і тим же прискоренням (одним і тим же як за величиною, так і за напрямком). Оскільки на заданій ділянці, рух тіла фактично є криволінійним (складається з двох частин: s1 – до зупинки, s2 – після зупинки), то на цій ділянці загальна величина пройденого шляху має визначатись за формулою s = |s1| + |s2|. При цьому: s1= –8Δt1 + 1∙Δt12 = –8∙4 + 1∙42 = 16; s2= 0∙Δt2 + 1∙Δt22= 0 + 22=4м. Таким чином, загальна величина пройденого тілом шляху становить 20м. Вправа №8. 1.Рух тіл вздовж осі ох задано рівняннями х1=5t, х2=150 – 10t. Визначити час та місце їх зустрічі. Задачу розв’язати алгебраїчно і графічно. 2. За заданими графіками руху записати відповідні рівняння руху. Визначити час та місце зустрічі тіл. Задачу розв’язати алгебраїчно і графічно.

3. За заданими графіками руху записати відповідні рівняння руху.

4. За заданим графікам швидкості визначити прискорення тіла на кожній ділянці шляху, записати відповідні рівняння швидкості та рівняння пройденого шляху.

5. За заданими графіками швидкості руху матеріальної точки визначити її прискорення на кожній ділянці шляху, записати відповідні рівняння швидкості, визначити величину пройденого шляху на кожній ділянці. а)

б)

6. За заданим графіком визначити пройдені тілом шляхи на кожній ділянці руху та на всьому шляху. Задачу розв’язати геометричним та алгебраїчним методом.